Cho $x,y,z>0$ thõa mãn $x+y+z=3xyz$. Tìm GTNN của

luatdhv đã viết:Cho $x,y,z>0$ thõa mãn $x+y+z=3xyz$. Tìm GTNN của

$A=xyz+\frac{1}{xy+yz+zx}$

Với các số `x,y,z >0` ta có `(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \ge 0` (Đúng với moij` x,y,z`)
`<=> (x^2+y^2+z^2) \ge (xy+yz+zx)`

`<=> (x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+xz)`

Dấu bằng xảy ra `<=> x=y=z`

Mà ` x+y+z =3xyz ` nên `9x^2y^2z^2 \ge 3(xy+yz+xz)`

`=> \frac{x^2y^2z^2}{xy+yz+xz} \ge \frac{1}{3}`

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

`\frac{xyz}{3}+\frac{xyz}{3}+\frac{1}{xy+yz+xz} \ge 3.\root[3]{\frac{x^2y^2z^2}{9(xy+yz+xz)}} \ge 1`

và `x+y+z \ge 3\root[3]{xyz}`

Suy ra `xyz \ge 1`

Do vậy `A = xyz +\frac{1}{xy+yz+xz} \ge \frac{1}{3} +1 = \frac{4}{3}`

Dấu bằng xảy ra `<=> x=y=z=1`