Truyện kể Toán Học + Các bài toán cổ (sưu tầm)

--------------------------------------------------------------------------------

Bài toán của: Zénon

Zénon d’Elée, triết gia HI Lạp ở thế kỉ thứ 5 trước công nguyên muốn chứng minh sự bấc khả thi của chuyển động, nhờ sự ngược đời và nghịch lý nổi tiếng này.
Chúng ta thử tìm hiểu một trong số đó là :
“sự ngược đời của mũi tên ”

• Cách lý luận của Zénon :
Một mũi tên được ném từ A không thể đi đén được bia ở B. Thực vậy, trước hết nó phải đi được một nữa quang đường AB, sau đó nửa quãng đường còn lại , như vậy là 3/4 quãng đường. Nhưng trước khi thực hiện được 1/4 quãng đường còn lại, mũi tên phải đi hết một nửa của 1/4 quãng đường này, và cứ tiếp tục như thế : một sự vô tận của các nửa quãng đường liên tiếp phải đi .

• Trả lời sao về một lý lẽ như vậy ?
Giả sử rằng, để xác định các giả thiết , AB = 10m và vân tốc của mũi tên là 10m/s

1/ Thời gian mũi tên cần tới b ?

2/ Vào mỗi giai đoạn thao lý luận của Zénon, mũi tên phải đi một nữa quãngđường cònlại .
Gọi rn là quãng đường còn lại vào giai đoạn n .
a/ CMR : rn = 10/ 2^n
b/ Chứng tỏ rằng dn < 10 và tn < 1
Và như vậy ta có thể khẳng định rằng vào mỗi giai đoạn theo lý lẽ của Zénon , mũi tên không thể đến được B. Và đó là tất cả …..

3/ Xác định (n → ∞)lim dn và (n → ∞)lim tn . Khi đó hãy bình luận câu :
“ Một sự vô tận của các nữa quãng đường liên tiếp cần phải đi ”
__________________





Chúng ta phải mất nhiều thời gian để tạo dựng niềm tin vững chắc của người ta yêu mến, nhưng để huỷ hoại niềm tin đó chỉ cần một khoảnh khắc mà thôi.

***

Bài của Cloudletters

Con đường mới của các nhà toán học

Một nhà vật lý đi qua hành lang thì thấy một nhà toán học đang lúi húi bò đi bò lại trên sàn . Nhà vật lý tò mò mới lên tiếng hỏi:

- Ông làm gì ở đây đấy?

-À, tôi đang tìm một cái kim, tôi vừa mới đánh rơi.

Nhà vật lý hỏi tiếp:

- Thế ông đánh rơi ở chỗ nào.

- Ở trong phòng tôi thôi .

Nhà vật lý ngạc nhiên quá mới hỏi:

- Đánh rơi ở trong phòng sao ông lại ra đây tìm.

Nhà toán học mới đáp:

- Ừ, nhưng trong phòng tối quá, tôi ra ngoài này tìm cho sáng!!!

Toán học nhiều khi là như vậy. Khi gặp vấn đề hóc búa ta hay nghĩ đến một con đường mới đi đến lời giải, đề ra những định nghĩa mới. Số ảo i, hay hàm Dirac-delta là hai trong số vô vàn ví dụ.

Tôi sẽ châm lửa cho nó
-Một ngày nọ,một nhà toán học cảm thấy quá mệt mỏi với việc làm toán.Thế là ông ta quyết định đi xin việc ở đội lính cứu hoả.Đội trưởng đội cứu hoả ngắm nhà toán học và nói"Anh trông có vẻ được.Tôi sẽ rất vui nhận anh vào làm việc nếu anh vượt qua được bài kiểm tra nhỏ này"
-Ông ta đưa nhà toán học tới nơi luyện tập của đội lính cứu hoả,nơi có đặt một chiếc thùng,một trụ cứu hoả và một vòi nước.Ông đặt câu hỏi"Nào!Bây giờ giả sử anh đang đi trên đường và nhìn thấy cái thùng đang cháy,anh sẽ xử lý thế nào?"Nhà toán học trả lời ngay không chút do dự"tôi sẽ lắp ngay ống nước vào trụ cứu hoả,bật nước và dập tắt ngọn lửa"
-"Rất tốt.Bây giờ thì chỉ còn một câu hỏi nhỏ cho anh nữa thôi-Anh sẽ làm gì nếu đang đi dạo và thấy chiếc thùng kô cháy"
-Nhà toán học suy nghĩ một lát rồi đáp"Tôi sẽ châm lửa cho nó!!!"
-Lính cứu hoả hét lên"Cái gì!Thật khủng khiếp!Tại sao anh có thể làm như vậy được nhỉ?"
-Nhà toán học thản nhiên"Có gì đâu.Làm như thế tôi sẽ đưa bài toán về bài toán vừa giải xong!"


Nhà toán học thông minh
-Một nhà toán học và một nhà văn bị một bộ tộc da đỏ bắt.Tù trưởng của bộ lạc này là một người rất thông minh và cũng đã từng được học hành.Sau khi bỏ đói ba ngày,tù trưởng cho lính dắt nhà văn vào một căn phòng và bảo ông ta sắp được ăn.Nhà văn được đặt ngồi trên một chiếc ghế ở góc phòng,bụng khấp khởi mừng khi nhìn thấy một mân sơn hào hải vị đặt ở góc phòng bên kia.Tên tù trưởng giải thich"Mày phải ngồi yên trên ghế,cứ 1 phút mày lại được quyền kéo cái ghế 1 nửa quãng đường tới mâm cơm"Ông nhà văn giãy nảy"Tao sẽ không tham
gia trò giễu cợt này,không một thằng nào không thấy là tao sẽ chẳng bao giờ đến được chỗ mâm cơm.Tù trưởng cũng không làm khó dễ gì nhà văn,ông này cắp bụng đói về phòng nhốt mình
Tới lượt nhà toán học được đưa ra với điều kiện tương tự.Khi nghe tên tù trưởng giải thích luật chơi,mắt ông này sáng rực và ngồi ngay vào ghế.Tù trưởng vờ ngạc nhiên hỏi"Chẳng nhẽ mày không thấy là mày sẽ chẳng bao giờ đến tới chỗ mâm cơm hay sao"Nhà toán học mỉm cười"Tao không tới tận chỗ mâm cơm,nhưng tao có thể đến gần đủ để ăn được cơm"..Ngồi trong tù,nhà văn nhìn thấy nhà toán học ăn cơm và..xỉu.
__________________





Chúng ta phải mất nhiều thời gian để tạo dựng niềm tin vững chắc của người ta yêu mến, nhưng để huỷ hoại niềm tin đó chỉ cần một khoảnh khắc mà thôi.



NHỮNG BÀI TOÁN CỔ TRUNG HOA.

BÀI 1 : Ba thùng thóc đựng đầy như nhau trong kho bị 3 tên chộm lấy . sau dó , người ta thấy thùng thóc thứ nhất còn lại mottj lượng thóc ,thùng thứ 2 còn lại 1 cân và 4 lượng thóc , thùng thứ 3 còn lại 1 lượng thóc . Bọn chộm bị bắt khai rằng , tên thứ nhất dùng xẻng xúc thóc từ thùng thứ nhất, tên thứ 2 dùng đấu gỗ xúc thóc từ thùng thứ 2 , còn tên thứ 3 dùng bát xúc thóc từ thùng thứ 3. Mỗi xẻng xúc được 1 cân 9 lượng , đấu gỗ xúc được 1 cân 7 lượng , còn bát xúc được 1 cân 2 lượng .
Hãy tính xem ,mỗi tên chộm lấy bao nhiêu thóc , biết rănngf 10 lượng bằng 1 cân , 10 cân bằng một yené, 10 yến bằng 1 tạ.

BÀI 2 : khối lượng của một đống vàngcó 9 thỏi và một đống bạc có 11 thỏi là bằng nhau , nếu chuyển một thỏi vàng sang đống bạc và 1 thỏi bạc sang đống vàng thì đống vàng nhẹ đi 13lượng ( cứ coi là 13 kg nhé ). Hỏi khối lượng mỗi thỏi vàng , thỏi bạc la bao nhiêu /

BÀI 3: Hai con ngựa chạy từ A đến B , cách nhau 3000 dặm.Ngày đầu ngựa thứ nhất chạy được 193 dặm và mỗi ngày tiếp theo chạy được thêm 13 dặm nữa . Ngựa thứ 2 , ngày đầu chạy được 97 dặm , những ngày sau chạy chậm lại nửa dặm . Ngựa thứ nhất đến B rồi quay trỉ lại A , gặp ngựa thứ 2 ở giữa đường . Hỏi sau bao ngày thì chúng gập nhau và khi đó mỗi con chạy được bao nhiêu dặm?

BÀI 4: Người ta đem bán 2 con trâu , 5 con cừu để nua 13 con lợn con tiền thừa 1000" đồng ".Đem bán 3 con trâu , 3 con lợn rồi mua 9 con cừu thì vùa đủ ; còn nếu bán 9 con cừu , 8 con lợn để mua 5 con trâu thì thiếu 600 đồng.
Hỏi mỗi con trâu, cừu,lợn giá bao nhiêu ?

BÀI 5: 5 nhà dùng chung một giếng nước . Để gầu múc chạm đến được mặt nước thì với 2 dây thừng của nhà A thiếu đúng một dây thừng của nhà B , với 3 dây thừng của nhà B thiếu đúng 1 dây thừng của nhà C, 4 dây thừng của nhà C thiếu đúng 1 dây thừng của nhà E , còn với 6 dây của nhà E thiếu 1 dây của nhà A nữa.
Hỏi giếng sâu bao nhiêu? và độ dài của mỗi đoạn dây thừng ?



Bài toán Gonbach:

Gần 200 năm, "bài toán Gonbach" vẫn ko giải được, cho đến năm 1930, nhà toán học Nga - Xoviet trẻ là L.G.Snhirenman ( 1905 - 1938 ) mới chỉ ra được con đường đi đúng dẫn tới lời giải "bài toán Gonbach".

Định Lý Snhirenman do ông đưa ra: tồn tại một hằng số k sao cho mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể biểu diễn dưới dạng tổng không quá k số nguyên tố, tức là với mọi số tự nhiên N ( N > 1 ) thì N = p1 + p2 + ... + pk, trong đó pi là số nguyên tố , hoặc số 0 ; i = 1,...,k

Nếu như chứng minh được rằng k = 3 thì " bài toán Gonbach " được giải quyết. Bằng cố gắng của các nhà toán học, hằng số k đã được chỉ ra bằng 67 , sau đó là k = 20.

Năm 1937 , nhà toán học Nga - Xoviet I.M.Vinogradov đã chứng minh được "bài toán Gonbach" với số lẻ khá lớn, tức là mệnh đề "mọi số lẻ bắt đầu từ một số khá lớn là tổng của ba số nguyên tố" được chứng minh. Số lẻ khá lớn là bao nhiêu ? Tức là số lẻ lớn hơn N0 nào đó. Viện sĩ Borotkin đã chỉ ra được số N0 >= e16,038 , e ~ 2,71828... Phương pháp của Vinogradov giải được "bài toán Gonbach" nhưng vẫn chưa đủ để giài " bài toán Euler ".

Tới nay ngay cả "bài toán Gonbach" với những số chẵn và "bài toán Euler" vẫn chưa giải được ( chính Gonbach cũng không đặt ra bài toán này ), mặc dầu định lí Vinogradov đã chỉ ra một số chẵn tương đối lớn là tổng của 4 số nguyên tố.
__________________



Bài toán của Desagues

Chứng minh rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' nằm trong hai mặt phẳng khác nhau (p) và (p') , sao cho những đường thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy (điểm Desagues) thì các cặp cạnh tương ứng AB và A'B' , BC và B'C' , AC và A'C' (với điều kiện không song song với nhau) sẽ cắt nhau tại ba điểm cùng thuộc một đường thẳng (còn gọi là đường thẳng Desagues)
Ngược lại , nếu giao điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng thì các đường thẳng nối các điểm tương ứng đồng quy.
__________________




Những bài toán của Pascal

Bài 1:
Chứng minh rằng nếu các cạnh đối diện của một lục giác nội tiếp trong một đường tròn không song song thì giao điểm của các cặp cạnh này thẳng hàng (còn gọi là đường thằng Pascal).

Bài 2:
Hãy phát biểu những trường hợp giới hạn của bài toán Pascal đã nêu ở bài 1, những trưòng hợp đó sẽ cho những kết quả thú vị đối với những ngũ giác, tứ giác và tam giác nội tiếp đường tròn.

Bài 3:
Tìm dấu hiệu chia hết cho một số bất kìa




Bài toán của Euler:


Bài 1:
Mỗi số chẵn lớn hơn hay bằng 4 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Hãy kiểm tra mệnh đề này bằng vài số có hai chữ số.

Bài 2:
Có thể đi qua lần lượt 7 cái cầu bắc trên sông Prege ở Kenixbecgo (nay là Kaliningrat) nối các hòn đảo sao cho mỗi cầu chỉ di qua có một lần không?

Bài 3:
Chứng minh rằng trong tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng (đường thẳng Euler).

Bài 4:
Chứng minh rằng tích của hai số mà mỗi số là tổng của bốn số chính phương cũng là một số bằng tổng của bốn số chính phương đó.

Bài 5:
Chứng minh rằng trong một tứ giác thì tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương các đường chéo cộng với bốn lần bình phương đoạn nối trung điểm hai đường chéo.
__________________